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Las líneas de espera

cola-en-supermercado

Las líneas de espera, gestión de colas (Teoría de colas)

Las colas o líneas de espera se forman siempre que exista más de un usuario utilizando de un recurso limitado, por ejemplo suele darse tanto en sector servicios (bancos, clínicas, supermercados…) como en fabricación. El objetivo de este post será conseguir ser eficientes a través de la teoría de colas.

La teoría de colas asume que la prestación de servicios y los tiempos de llegada de cada individuo son de tipo aleatorios en las líneas de espera.

Desde el punto de vista de la producción, trataremos de reducir los tiempos de espera consiguiendo reducir costes, ya que conseguimos fabricar en menos tiempo y reducir el coste de salario que supone tener recursos ociosos.

 

Aspectos económicos de los problemas de las esperas

Las líneas de espera, el objetivo es buscar el óptimo, que es el punto en el que coinciden los costes de producción con el máximo de los costes de espera.

equilibrio coste espera con coste capacidad

E: Equilibrio entre “Coste de capacidad” y el “Coste de espera” de forma que aquí el coste de prestación de servicio es mínimo.

Compararemos el coste adicional de dar un servicio más rápido con el coste de espera.

Llamaremos al:

 

Los factores que afectan a la satisfacción con la espera se puede clasificar en:

Factores relacionados con la empresa:

Factores relacionados con el cliente:

Factores relacionados con la empresa y cliente:

Un servicio rápido se asocia a un alto nivel de calidad en servicio al cliente, por tanto hay un trade-off entre mejorar el nivel de servicio y el aumento del coste asociado a esa mejora.

 

Funciones de distribución de llegadas

La llegada de clientes al sistema suponemos que de forma aleatoria, por lo tanto sigue una distribución de Poisson, es decir, las llegadas entre sí no guardan relación, es decir, son independientes.

El número medio de llegadas en un intervalo de tiempo es constante y vendrá determinado por el parámetro landa.

Así mismo, la probabilidad de que se produzca una llegada depende de la amplitud del intervalo de tiempo considerado.

 

En los procesos de Poisson se dan las siguientes condiciones:

1.- El número de llegadas en un intervalo de tiempo es independiente del número de llegadas ocurridas en períodos anteriores, es decir, estos procesos carecen de memoria.

2.- La tasa media de llegadas, landa, debe permanecer constante durante todo el período considerado.

3.- La probabilidad de que una llegada se produzca en un intervalo de tiempo es igual a landa veces la duración del mismo, (a menor duración de los intervalos menor probabilidad de ocurrencia del suceso).

 

Los procesos de Poisson nos proporcionan dos importantes distribuciones de probabilidad, que nos reflejan el mismo fenómeno pero por diferentes caminos: la distribución exponencial, y la distribución de Poisson.

 

La distribución Exponencial

Indica la distribución de las probabilidades de los intervalos de tiempo entre las distintas llegadas. Esta distribución representa el tamaño de los intervalos de tiempo entre llegadas, medidos en unidades de tiempo, y sus probabilidades.

Función de densidad: f(t) = λe λ*t

Media= Desviación típica= 1/ λ

 

La distribución de Poisson

Indica la probabilidad de que un número concreto de llegadas se produzcan en un intervalo de tiempo.

A veces las distribuciones de llegada se expresan en términos del tiempo entre llegadas, que frecuentemente siguen una distribución exponencial negativa.

Si el número de llegadas en un intervalo dado sigue una distribución de Poisson, entonces necesariamente los tiempos entre llegadas tienen una distribución exponencial negativa, y viceversa.

La distribución de Poisson y la Exponencial son complementarias.

Probabilidad de que X llegadas se produzcan durante el intervalo de tiempo t:

P(X=x)= ( e λ*t * (λ*t)/x!)

Media= Desviación típica= λ*t

 

Modelos de colas

Los modelos de colas nos dan los siguientes resultados:

Los problemas suelen denotarse por:

(Proceso llegada/Proceso servicio/ Nº servidores)

En el que llamaremos “M” para indicar llegadas aleatorias o servicios aleatorios, los tiempos entre llegadas o los tiempos de servicio son distribuciones Exponenciales.

 

Modelo básico (M/M/1)

En este modelo tenemos un único servidor con los tiempos de servicio siguiendo una distribución Exponencial.

Nos encontramos con las siguientes variables:

μ = Tasa media de servicio (Elementos /unidad de tiempo) que es la capacidad del servidor en un nº ud por periodo, ej: 5 servicios /hora.

1/ μ= Tiempo medio del servicio

Suponemos que μ> λ (ya que si no sería inestable, la línea de espera crecería indefinidamente).

λ = Tasa media de llegada (Llegadas/unidad de tiempo).

Suponemos que:

 

Fórmulas:

ρ: Factor de utilización del servicio. (Medida en la que provecho el sistema)

ρ = λ/ μ ; ρ <1

1/ μ= Tiempo medio del servicio (Tiempo medio que tardo en atender a un cliente o en procesar un elemento) (Unidad tiempo/ cliente o elemento.

L: Nº clientes medio en el sistema:

L= λ /( μ- λ)

W: Tiempo medio de espera en el sistema:

W= L/ λ = 1/ (μ- λ)

Lq: Nº medio de clientes en la cola:

Lq= ρ*L= λ2 / μ (μ- λ) (Número individuos en la espera)

Wq: Tiempo medio de espera en la cola:

Wq: Lq/ λ = λ / μ (μ- λ) (Tiempo consumido en la espera)

PO: Probabilidad de que no haya ningún individuo en el sistema:

Po= 1- λ / μ

PN: Probabilidad de que haya N individuos en el sistema:

PN= (λ/ μ)n PO

 

Modelo de múltiples servidores en paralelo (M/M/C)

En este caso suponemos que:

Si todos los servidores están ocupados (nº clientes<nº servidores; n≤c):

Si el nº de clientes es por lo menos tan grande como el nº de servidores ( n≥c):

Suponemos que la capacidad total del servicio es mayor que la demanda de los clientes: c*mu>landa

Si el nº de servidores fuera infinito, siempre habrá un servidor disponible, no habría cola y por lo tanto no habría tiempo de espera: Lq=Wq=0

El nº de clientes en el sistema L, será igual al nº de servidores ocupados.

 

Fórmulas:
Probabilidad de que haya n clientes en el sistema:

 

Probabilidad de que NO haya n clientes en el sistema:

 

Factor de utilización del servicio: ρ = λ/ cμ

Nº Clientes medio en el sistema: L= Lq+ (λ /μ)

Tiempo medio de espera en el sistema: W=Wq+/ (λ /μ)

Nª Clientes medio en la cola:

 

Tiempo medio de espera en la cola: Wq =Lq/ λ

Cálculo de costes:

Coste total: CT= CE+CI

CI= trabajador *8h*salario/h

CE=Wq*c* λ*h trabajadas (Wq es el coste de estar en la cola, W es el coste de sistema/ maquinaria)

 

Resumiendo:

ρ = λ/ cμ; λ /μ con c=x obtenemos Lq

Wq =Lq/ λ

L= Lq+ (λ /μ)

W=Wq+/ (λ /μ)

La foto que ilustra este post se ha publicado bajo licencia Creative Commons en el Flickr del usuario “Lee Jordan”.

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Originally posted 2014-09-08 17:15:21.

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